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Déterminer le reste de la division euclidienne de $5^{2027}$ par $13$.
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Déterminer le chiffre des unités de $7^{2026}$.
Calculer $5^2$ modulo $13$ : on obtient un résultat très simple si l'on accepte un représentant négatif.
Chercher un exposant $m$ tel que $5^m \equiv 1 \;[13]$, puis diviser $2027$ par $m$.
Le chiffre des unités d'un entier naturel est son reste modulo $10$. Chercher la première puissance de $7$ congrue à $1$ modulo $10$.
1. Modulo $13$ : $5^2 = 25 = 13 + 12$, donc $5^2 \equiv 12 \equiv -1 \;[13]$. Par suite $5^4 = (5^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1 \;[13]$.
On divise l'exposant par $4$ : $2027 = 4 \times 506 + 3$. Donc $$5^{2027} = \left(5^4\right)^{506} \times 5^3 \equiv 1^{506} \times 125 = 125 \;[13].$$ Or $125 = 13 \times 9 + 8$, donc $5^{2027} \equiv 8 \;[13]$. Comme $0 \leqslant 8 < 13$, le reste cherché est $8$.
2. Le chiffre des unités d'un entier naturel est son reste dans la division par $10$. Modulo $10$ : $$7^2 = 49 \equiv 9, \quad 7^3 \equiv 9 \times 7 = 63 \equiv 3, \quad 7^4 \equiv 3 \times 7 = 21 \equiv 1.$$ On a $2026 = 4 \times 506 + 2$, donc $$7^{2026} = \left(7^4\right)^{506} \times 7^2 \equiv 1 \times 49 \equiv 9 \;[10].$$ Le chiffre des unités de $7^{2026}$ est $9$.
reste 8 ; chiffre des unités 9