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Puissance n-ième : définition (Maths expertes)
Définition
Puissance n-ième
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$. On pose $A^0=I_p$ et, pour tout entier naturel $n$, $A^{n+1}=A^nA$.
Ainsi $A^n=A\times A\times\cdots\times A$ ($n$ facteurs) pour $n\geqslant 1$. Comme $A$ commute avec elle-même, on a aussi $A^{n+1}=AA^n$ et $A^mA^n=A^{m+n}$.
Attention
Puissance d'une matrice et puissance des coefficients
En général, les coefficients de $A^n$ ne sont pas les puissances $n$-ièmes des coefficients de $A$. Par exemple, avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, on a $A^2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et non $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$. Le cas des matrices diagonales est une exception.