Exercice corrigé : Suite matricielle U(n+1) = AU(n) + B

Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont définies par $u_0=0$, $v_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$\begin{cases} u_{n+1}=0{,}25u_n+0{,}25v_n+3 \\ v_{n+1}=0{,}25u_n+0{,}25v_n+1 \end{cases}$$ On pose $U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. Vérifier que $U_{n+1}=AU_n+B$, puis calculer $U_1$ et $U_2$.
2. Montrer que $I_2-A$ est inversible, calculer son inverse et en déduire la colonne $C$ telle que $C=AC+B$.
3. Montrer que $A^2=0{,}5A$, puis que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $A^n=0{,}5^{\,n-1}A$.
4. Justifier que $U_n=A^n(U_0-C)+C$, puis exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ pour $n\geqslant 1$.
5. Déterminer la limite de $(U_n)$.