Puissances de A = PDP⁻¹ : énoncé (Maths expertes)
Puissances de A = PDP⁻¹
Soient $A$, $P$, $D$ des matrices carrées de même ordre, $P$ inversible, telles que $A=PDP^{-1}$. Alors pour tout entier naturel $n$ : $$A^n=PD^nP^{-1}.$$ Si $D$ est diagonale, $D^n$ se calcule immédiatement, donc $A^n$ aussi.
Démonstration : Puissances de A = PDP⁻¹
Puissances de A = PDP⁻¹
Par récurrence sur $n$.
Initialisation : $PD^0P^{-1}=PI P^{-1}=PP^{-1}=I=A^0$.
Hérédité : supposons $A^n=PD^nP^{-1}$. Alors, par associativité, $$A^{n+1}=A^nA=(PD^nP^{-1})(PDP^{-1})=PD^n(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^nDP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}.$$
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $A^n=PD^nP^{-1}$.
Calcul de Aⁿ avec une matrice de passage
Soient $A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.
$\det(P)=1-2=-1\neq 0$, donc $P$ est inversible et $P^{-1}=-\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.
On vérifie : $PD=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ puis $PDP^{-1}=\begin{pmatrix} -2+6 & 4-6 \\ -2+3 & 4-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=A$.
Donc $A^n=PD^nP^{-1}$ avec $D^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$ : $$PD^n=\begin{pmatrix} 2^n & 2\times 3^n \\ 2^n & 3^n \end{pmatrix},\qquad A^n=\begin{pmatrix} -2^n+2\times 3^n & 2^{n+1}-2\times 3^n \\ -2^n+3^n & 2^{n+1}-3^n \end{pmatrix}.$$ Contrôle pour $n=1$ : on retrouve $\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
S’entraîner
- Produits de matrices et non-commutativité
- Le triangle : une relation entre puissances
- Puissances par la relation A = PDP⁻¹
- Deux lacs et un alevinage