Puissances d'une matrice diagonale : énoncé (Maths expertes)
Puissances d'une matrice diagonale
Si $D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{pmatrix}$, alors pour tout entier naturel $n$ : $$D^n=\begin{pmatrix} d_1^{\,n} & 0 \\ 0 & d_2^{\,n} \end{pmatrix}.$$ Le résultat est le même pour une matrice diagonale d'ordre $3$.
Démonstration : Puissances d'une matrice diagonale
Puissances d'une matrice diagonale
Par récurrence sur $n$.
Initialisation : $D^0=I_2=\begin{pmatrix} d_1^{\,0} & 0 \\ 0 & d_2^{\,0} \end{pmatrix}$.
Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n$. Alors $$D^{n+1}=D^nD=\begin{pmatrix} d_1^{\,n} & 0 \\ 0 & d_2^{\,n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d_1^{\,n+1} & 0 \\ 0 & d_2^{\,n+1} \end{pmatrix}.$$
Conclusion : la formule est vraie pour tout entier naturel $n$.
Conjecture puis récurrence
Soit $T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. On calcule $T^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $T^3=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. On conjecture $T^n=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
- Initialisation : $T^0=I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, la formule est vraie pour $n=0$.
- Hérédité : si $T^n=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, alors $T^{n+1}=T^nT=\begin{pmatrix} 1 & 1+n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, $T^n=\begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
S’entraîner
- Produits de matrices et non-commutativité
- Inverse d'une matrice 2×2 et résolution d'un système
- Vocabulaire d'un graphe non orienté
- Chemins dans un graphe orienté
- Deux formules d'abonnement