Lecture sur un arbre : énoncé (Terminale spé)
Lecture sur un arbre
Une succession de $n$ épreuves indépendantes se représente par un arbre pondéré à $n$ niveaux. Les probabilités portées par les branches d'un niveau sont les mêmes quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce niveau. La probabilité d'une issue est le produit des probabilités le long du chemin correspondant.
Une pièce puis un dé
On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. Les deux lancers sont indépendants.
- $\Omega_1=\{P\,;F\}$, $\Omega_2=\{1,2,3,4,5,6\}$, donc $\Omega=\Omega_1\times\Omega_2$ contient $2\times 6=12$ issues.
- $P\big((P,6)\big)=\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}$.
- L'événement « obtenir Face et un nombre pair » est $\{(F,2),(F,4),(F,6)\}$, de probabilité $3\times\dfrac1{12}=\dfrac14$, ce qui vaut bien $\dfrac12\times\dfrac36$.
Avec remise ou sans remise
Des tirages avec remise dans une urne sont des épreuves indépendantes : la composition de l'urne est la même à chaque tirage.
Des tirages sans remise ne le sont pas. Avec une urne de 3 boules rouges et 2 noires, la probabilité de tirer une rouge au second tirage vaut $\dfrac24$ si la première était rouge et $\dfrac34$ si elle était noire. On ne peut pas multiplier des probabilités fixes : il faut des probabilités conditionnelles.
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Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale : Lecture sur un arbre