Une entreprise fabrique des gourdes sur deux chaînes. La chaîne A produit $60\,\%$ des gourdes et la chaîne B le reste. $5\,\%$ des gourdes de la chaîne A et $10\,\%$ des gourdes de la chaîne B sont défectueuses.
Partie A
On choisit une gourde au hasard dans la production. On note $A$ l'événement « la gourde provient de la chaîne A », $B$ son contraire et $D$ l'événement « la gourde est défectueuse ».
- Représenter la situation par un arbre pondéré.
- Calculer $P(A\cap D)$.
- Montrer que $P(D)=0{,}07$.
- La gourde choisie est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la chaîne A (arrondi à $10^{-3}$).
Partie B
On prélève 20 gourdes dans la production. Celle-ci est assez importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de gourdes défectueuses du prélèvement.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer la probabilité qu'aucune gourde ne soit défectueuse (arrondi à $10^{-4}$).
- Calculer $P(X\leqslant2)$ (arrondi à $10^{-4}$).
- Le lot est refusé s'il contient au moins 3 gourdes défectueuses. Calculer la probabilité que le lot soit refusé.
- Calculer $E(X)$ et l'interpréter.
Partie C
On prélève désormais $n$ gourdes, dans les mêmes conditions. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins une gourde défectueuse soit supérieure ou égale à $0{,}99$.
Partie A : $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)$ ; pour la question 4, utiliser $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}$.
Partie B : le succès est « la gourde est défectueuse » ; pour $P(X\leqslant2)$, additionner trois probabilités ou utiliser la fonction cumulée.
Partie C : $P(X\geqslant1)=1-0{,}93^n$, puis logarithme ; attention au signe de $\ln(0{,}93)$.
Partie A
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Premier niveau : $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}4$. Second niveau : $P_A(D)=0{,}05$, $P_A(\overline D)=0{,}95$, $P_B(D)=0{,}1$, $P_B(\overline D)=0{,}9$.
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$P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0{,}6\times0{,}05=0{,}03$.
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$A$ et $B$ forment une partition de l'univers ; par la formule des probabilités totales : $$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=0{,}03+0{,}4\times0{,}1=0{,}03+0{,}04=0{,}07.$$
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$$P_D(A)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}03}{0{,}07}=\frac37\approx0{,}429.$$
Partie B
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L'épreuve « prélever une gourde » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la gourde est défectueuse », de probabilité $p=0{,}07$ d'après la partie A. Le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise, cette épreuve est répétée 20 fois de façon identique et indépendante. $X$ compte les succès, donc $X\sim\mathcal B(20\,;0{,}07)$.
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$P(X=0)=0{,}93^{20}\approx0{,}2342$.
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$P(X=1)=\binom{20}1\times0{,}07\times0{,}93^{19}\approx0{,}3526$ et $P(X=2)=\binom{20}2\times0{,}07^2\times0{,}93^{18}=190\times0{,}0049\times0{,}93^{18}\approx0{,}2521$. Donc $$P(X\leqslant2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0{,}8390,$$ valeur confirmée par la fonction cumulée de la calculatrice.
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Le lot est refusé si $X\geqslant3$ : $$P(X\geqslant3)=1-P(X\leqslant2)\approx1-0{,}8390=0{,}1610.$$
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$E(X)=20\times0{,}07=1{,}4$. Sur un grand nombre de prélèvements de 20 gourdes, on trouve en moyenne 1,4 gourde défectueuse par prélèvement.
Partie C
Le nombre $X_n$ de gourdes défectueuses parmi $n$ suit $\mathcal B(n\,;0{,}07)$, donc $P(X_n\geqslant1)=1-0{,}93^n$. $$\begin{aligned}1-0{,}93^n\geqslant0{,}99&\iff0{,}93^n\leqslant0{,}01\\&\iff n\ln(0{,}93)\leqslant\ln(0{,}01)\quad(\ln\text{ strictement croissante})\\&\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}93)}\quad\text{car }\ln(0{,}93)<0.\end{aligned}$$ Or $\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}93)}\approx63{,}46$. Le plus petit entier qui convient est $n=64$. Contrôle : $0{,}93^{63}\approx0{,}0103>0{,}01$ et $0{,}93^{64}\approx0{,}0096\leqslant0{,}01$.
P(A∩D) = 0,03 ; P(D) = 0,07 ; P_D(A) = 3/7 ≈ 0,429 ; X ~ B(20 ; 0,07) ; P(X=0) ≈ 0,2342 ; P(X≤2) ≈ 0,8390 ; P(X≥3) ≈ 0,1610 ; E(X) = 1,4 ; n = 64