Valuation $p$-adique : définition (MPSI)

Soient $p$ un nombre premier et $n \in \mathbb{Z}^*$. L'ensemble $\{k \in \mathbb{N} \,;\, p^k \mid n\}$ contient $0$ et est majoré (car $p^k \leqslant |n|$). Son plus grand élément est la valuation $p$-adique de $n$, notée $v_p(n)$.

Ainsi $v_p(n) = \alpha$ signifie : $p^\alpha \mid n$ et $p^{\alpha+1} \nmid n$, ou encore $n = p^\alpha m$ avec $p \nmid m$.

Le théorème fondamental se réécrit : pour tout $n \in \mathbb{Z}^*$, $$n = \pm \prod_{p \in \mathcal{P}} p^{v_p(n)},$$ où seul un nombre fini de $v_p(n)$ sont non nuls.

Exemple : $v_2(360) = 3$, $v_3(360) = 2$, $v_5(360) = 1$, $v_7(360) = 0$.