Valuation $p$-adiqueCaractérisation de la divisibilité par les valuationsIrrationalité
- Soient $a, b \in \mathbb{Z}^*$ tels que $a^2 \mid b^2$. Montrer que $a \mid b$.
- Montrer que $\log_{10} 2$ est irrationnel.
- Déterminer le plus petit entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $2n$ soit le carré d'un entier et $3n$ le cube d'un entier.
Indice 1
Utiliser $a \mid b \iff \forall p \in \mathcal{P},\ v_p(a) \leqslant v_p(b)$ et $v_p(a^2) = 2v_p(a)$.
Indice 2
Pour la question 2, supposer $\log_{10} 2 = r/s$ avec $r, s \in \mathbb{N}^*$ et obtenir une égalité entre entiers ; regarder la valuation $5$-adique.
Indice 3
Un entier $m \geqslant 1$ est un carré si et seulement si toutes ses valuations sont paires, un cube si et seulement si elles sont toutes multiples de $3$.
Indice 4
Traiter séparément $p = 2$, $p = 3$ et $p \geqslant 5$.
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