Nombre de diviseurs : énoncé (MPSI)
Nombre de diviseurs
Si $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r}$, les diviseurs positifs de $n$ sont les entiers $p_1^{\beta_1} \cdots p_r^{\beta_r}$ avec $0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i$ (d'après le point 2 et l'unicité de la décomposition). Leur nombre est donc $$(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \cdots (\alpha_r + 1).$$ Exemple : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ a $4 \times 3 \times 2 = 24$ diviseurs positifs.
Irrationalité de $\sqrt{2}$ par les valuations
Supposons $\sqrt{2} = a/b$ avec $a, b \in \mathbb{N}^*$. Alors $a^2 = 2b^2$. Or $v_2(a^2) = 2v_2(a)$ est pair, tandis que $v_2(2b^2) = 1 + 2v_2(b)$ est impair. Contradiction : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Le même argument montre que si $n \in \mathbb{N}$ n'est pas le carré d'un entier, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel.
Formule de Legendre (hors programme, classique)
Pour $p$ premier et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$v_p(n!) = \sum_{k \geqslant 1} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor,$$ la somme étant finie. Idée : $v_p(n!) = \sum_{j=1}^n v_p(j)$, et parmi $1, \dots, n$ il y a exactement $\lfloor n/p^k \rfloor$ multiples de $p^k$ ; chaque $j$ est compté $v_p(j)$ fois.
Exemple : $v_5(100!) = 20 + 4 = 24$ et $v_2(100!) = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97$. Le nombre de zéros terminant l'écriture décimale de $100!$ est $\min(v_2, v_5) = 24$. Cette formule se redémontre en exercice.
Convention utile : $v_p(0) = +\infty$, ce qui prolonge les règles de calcul.
S’entraîner
- Décompositions, diviseurs, PGCD et PPCM de 5040 et 3780
- PGCD dépendant d'un paramètre
- Divisibilités universelles par le petit théorème de Fermat
- Formule de Legendre et zéros terminaux d'une factorielle
- Théorème de Wilson et carrés congrus à $-1$ (type Mines-Ponts)