Soient $p$ un nombre premier et $n \in \mathbb{N}^*$.
- Soit $m \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le nombre de multiples de $m$ dans $\{1, \dots, n\}$ est $\lfloor n/m \rfloor$.
- Soit $j \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $v_p(j)$ est égal au nombre d'entiers $k \geqslant 1$ tels que $p^k \mid j$.
- En déduire la formule de Legendre : $$v_p(n!) = \sum_{k \geqslant 1} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor,$$ où la somme ne comporte qu'un nombre fini de termes non nuls.
- Par combien de zéros se termine l'écriture décimale de $2025!$ ?
- Déterminer le plus petit entier $n$ tel que l'écriture décimale de $n!$ se termine par au moins $100$ zéros.
Les multiples de $m$ dans $\{1, \dots, n\}$ sont les $km$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ et $km \leqslant n$.
Pour $k \in \mathbb{N}$, montrer que $p^k \mid j \iff k \leqslant v_p(j)$.
Écrire $v_p(n!) = \sum_{j=1}^{n} v_p(j)$, remplacer $v_p(j)$ par une somme d'indicatrices et intervertir les sommes.
Le nombre de zéros terminaux de $N$ est le plus grand $t$ tel que $10^t \mid N$ ; comparer $v_2$ et $v_5$.
La fonction $n \mapsto v_5(n!)$ est croissante ; tester des valeurs autour de $400$.
1. Les multiples positifs de $m$ sont les $km$, $k \in \mathbb{N}^*$. Pour $k$ entier, $km \leqslant n \iff k \leqslant n/m \iff k \leqslant \lfloor n/m \rfloor$. Les multiples de $m$ dans $\{1, \dots, n\}$ correspondent donc aux $k \in \{1, \dots, \lfloor n/m \rfloor\}$ : il y en a $\lfloor n/m \rfloor$.
2. Soit $\alpha = v_p(j)$ et $k \in \mathbb{N}$. Si $k \leqslant \alpha$, alors $p^k \mid p^\alpha \mid j$. Si $k > \alpha$, alors $p^{\alpha+1} \mid p^k$, et $p^k \mid j$ entraînerait $p^{\alpha+1} \mid j$, ce qui contredit la définition de $\alpha$. Donc $p^k \mid j \iff k \leqslant \alpha$, et les entiers $k \geqslant 1$ tels que $p^k \mid j$ sont $1, \dots, \alpha$ : il y en a $\alpha = v_p(j)$.
3. Soit $K$ tel que $p^K > n$. Pour $j \leqslant n$ et $k > K$, $p^k \nmid j$. Notons $\varepsilon_{k,j} = 1$ si $p^k \mid j$ et $0$ sinon. Par la règle $v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b)$ puis la question 2 : $$v_p(n!) = \sum_{j=1}^{n} v_p(j) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{K} \varepsilon_{k,j} = \sum_{k=1}^{K} \sum_{j=1}^{n} \varepsilon_{k,j}.$$ La somme intérieure compte les multiples de $p^k$ dans $\{1, \dots, n\}$ ; d'après 1, elle vaut $\lfloor n/p^k \rfloor$. Pour $k > K$, $\lfloor n/p^k \rfloor = 0$. D'où la formule.
4. Le nombre de zéros terminaux de $N = 2025!$ est le plus grand $t$ tel que $10^t = 2^t 5^t$ divise $N$, c'est-à-dire $t = \min(v_2(N), v_5(N))$. Pour tout $k$, $2^k \leqslant 5^k$, donc $\lfloor n/2^k \rfloor \geqslant \lfloor n/5^k \rfloor$ et $v_2(n!) \geqslant v_5(n!)$. Ainsi $t = v_5(2025!)$ : $$v_5(2025!) = \left\lfloor \frac{2025}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2025}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2025}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2025}{625} \right\rfloor = 405 + 81 + 16 + 3 = 505,$$ les termes suivants étant nuls car $3125 > 2025$. L'écriture de $2025!$ se termine par $505$ zéros.
5. D'après 4, le nombre de zéros terminaux de $n!$ est $f(n) = v_5(n!)$, fonction croissante de $n$ (chaque terme $\lfloor n/5^k \rfloor$ l'est). On calcule $f(404) = 80 + 16 + 3 = 99$ et $f(405) = 81 + 16 + 3 = 100$. Pour $n \leqslant 404$, $f(n) \leqslant 99$. Le plus petit entier cherché est $405$.
$v_p(n!)=\sum_{k\geqslant1}\lfloor n/p^k\rfloor$ ; $505$ zéros ; $n=405$