Prépa, 1re année › Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ › Divisibilité et reste
Divisibilité et reste : énoncé (MPSI)
Propriété
Divisibilité et reste
Pour $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$, on a $b \mid a$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
En effet, si $a = bk$, le couple $(k, 0)$ convient, et par unicité c'est le couple quotient-reste. La réciproque est immédiate.
Remarque
Diviseur négatif
Si $b \in \mathbb{Z}^*$ est négatif, on obtient de même l'existence et l'unicité de $(q, r)$ avec $a = bq + r$ et $0 \leqslant r < |b|$ : il suffit de diviser $a$ par $|b|$ et de changer le signe du quotient. Dans la pratique, on divise presque toujours par un entier strictement positif.
S’entraîner
- Divisions euclidiennes avec un dividende négatif
- Restes de puissances et divisibilité par congruences
- Raisonnements par les valuations $p$-adiques
- Un principe de chiffrement à clé publique (type CCINP)