- Effectuer la division euclidienne de $-100$ par $7$.
- Effectuer la division euclidienne de $2025$ par $17$.
- Soient $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{N}^*$ et $a = bq + r$ la division euclidienne de $a$ par $b$. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $-a$ par $b$, en distinguant les cas $r = 0$ et $r \neq 0$. Vérifier le résultat sur $a = 17$, $b = 5$.
Pour un dividende négatif, calculer d'abord $q = \lfloor a/b \rfloor$ ; le reste est alors $r = a - bq$.
Vérifier systématiquement que $0 \leqslant r < b$.
Pour la question 3, écrire $-a = -bq - r$, puis faire apparaître un reste positif en ajoutant et en retranchant $b$.
Conclure par l'unicité de la division euclidienne.
1. On a $-100/7 \approx -14{,}29$, donc $q = \lfloor -100/7 \rfloor = -15$ et $r = -100 - 7 \times (-15) = -100 + 105 = 5$. Comme $0 \leqslant 5 < 7$ : $$-100 = 7 \times (-15) + 5.$$ Le quotient est $-15$, le reste est $5$.
2. $17 \times 120 = 2040$, donc $17 \times 119 = 2023$. Ainsi $2025 = 17 \times 119 + 2$ avec $0 \leqslant 2 < 17$. Le quotient est $119$, le reste est $2$.
3. On part de $a = bq + r$ avec $0 \leqslant r < b$, d'où $-a = b(-q) - r$.
- Si $r = 0$ : $-a = b(-q) + 0$. Le couple $(-q, 0)$ vérifie les conditions de la division euclidienne, donc par unicité le quotient est $-q$ et le reste est $0$.
- Si $r \neq 0$ : on écrit $-a = b(-q) - b + b - r = b(-q-1) + (b - r)$. Comme $1 \leqslant r \leqslant b - 1$, on a $1 \leqslant b - r \leqslant b - 1$, donc $0 \leqslant b - r < b$. Par unicité, le quotient est $-q-1$ et le reste est $b - r$.
Vérification : $17 = 5 \times 3 + 2$, donc la division de $-17$ par $5$ a pour quotient $-3-1 = -4$ et pour reste $5 - 2 = 3$. On retrouve $-17 = 5 \times (-4) + 3$.
$-100 = 7\times(-15)+5$ ; $2025 = 17\times 119+2$ ; pour $-a$ : quotient $-q$ et reste $0$ si $r=0$, quotient $-q-1$ et reste $b-r$ si $r\neq0$