Formule de Pascal : énoncé (MPSI)

Soit $E$ de cardinal $n\ge1$ et $a\in E$ fixé. On partage $\mathcal{P}_k(E)$ en deux parties disjointes :

• les parties contenant $a$ : $A\mapsto A\setminus\{a\}$ est une bijection vers $\mathcal{P}_{k-1}(E\setminus\{a\})$, de cardinal $\binom{n-1}{k-1}$ ;
• les parties ne contenant pas $a$ : ce sont exactement les éléments de $\mathcal{P}_k(E\setminus\{a\})$, de cardinal $\binom{n-1}{k}$ (nul si $k=n$).

Le principe additif donne la formule.