Formule de Pascal : énoncé (Terminale spé)

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments ($n\geqslant 2$) et $a$ un élément fixé de $E$. On note $E'=E\setminus\{a\}$, qui a $n-1$ éléments.

Les parties de $E$ à $k$ éléments se répartissent en deux catégories disjointes.

• Celles qui contiennent $a$. Une telle partie s'écrit $\{a\}\cup B$ où $B$ est une partie de $E'$ à $k-1$ éléments, et ce $B$ est unique. Il y en a donc $\binom{n-1}{k-1}$.
• Celles qui ne contiennent pas $a$. Ce sont exactement les parties de $E'$ à $k$ éléments. Il y en a $\binom{n-1}{k}$.

Par le principe additif : $$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.$$

Soit $1\leqslant k\leqslant n-1$. On a $$\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!\,(n-1-k)!}.$$ On réduit au même dénominateur $k!\,(n-k)!$, en utilisant $k!=k\times(k-1)!$ et $(n-k)!=(n-k)\times(n-k-1)!$ : $$\begin{aligned}\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&=\frac{k\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!}+\frac{(n-k)\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!}\\&=\frac{(n-1)!\,\big(k+(n-k)\big)}{k!\,(n-k)!}\\&=\frac{n\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\binom{n}{k}.\end{aligned}$$