- Déterminer le cardinal de $\llbracket 37,215\rrbracket$.
- Dans $E=\llbracket 1,1000\rrbracket$, on note $A$ l'ensemble des multiples de $4$ et $B$ l'ensemble des multiples de $6$. Calculer $\operatorname{Card}A$, $\operatorname{Card}B$ et $\operatorname{Card}(A\cap B)$.
- Combien d'entiers de $E$ sont divisibles par $4$ ou par $6$ ? Combien ne sont divisibles ni par $4$ ni par $6$ ?
Un intervalle $\llbracket a,b\rrbracket$ est en bijection avec $\llbracket 1,b-a+1\rrbracket$.
Les multiples de $d$ dans $E$ sont les $dk$ avec $1\le dk\le 1000$ : il suffit d'encadrer $k$.
Un entier divisible par $4$ et par $6$ est divisible par leur ppcm, qui n'est pas $24$.
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Pour $a\le b$, $\operatorname{Card}\llbracket a,b\rrbracket=b-a+1$. Ici $215-37+1=179$.
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L'application $k\mapsto 4k$ est une bijection de $\llbracket 1,250\rrbracket$ sur $A$, car $1\le 4k\le 1000\iff 1\le k\le 250$. Donc $\operatorname{Card}A=250$.
De même, $1\le 6k\le 1000\iff 1\le k\le 166$, puisque $6\times166=996\le1000<1002=6\times167$. Donc $\operatorname{Card}B=166$.
Un entier est multiple de $4$ et de $6$ si et seulement s'il est multiple de $\operatorname{ppcm}(4,6)=12$. Comme $12\times83=996\le1000<1008=12\times84$, on obtient $\operatorname{Card}(A\cap B)=83$.
- Par la formule de la réunion : $$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B)=250+166-83=333.$$ Les entiers divisibles ni par $4$ ni par $6$ forment $E\setminus(A\cup B)$, de cardinal $1000-333=667$.
$179$ ; $250$, $166$, $83$ ; $333$ et $667$