Utiliser l'unicité dans le problème de CauchyExploiter la formule intégrale de la solution d'un problème de CauchyDiscuter selon un paramètreCalculer une primitive par intégration par parties
Dans l'esprit Mines-Ponts. Soient $T>0$, $a\in\mathbb{R}$ et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue et $T$-périodique. On considère $$(E)\quad y'+ay=f(x)\quad\text{sur }\mathbb{R}.$$
- Soit $y$ une solution de $(E)$. Montrer que $x\mapsto y(x+T)$ est solution de $(E)$. En déduire que $y$ est $T$-périodique si et seulement si $y(T)=y(0)$.
- On suppose $a\neq0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $T$-périodique, et exprimer sa valeur $y_0$ en $0$ à l'aide de $I=\displaystyle\int_0^T f(t)e^{at}\,dt$.
- On suppose $a=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que $(E)$ admette une solution $T$-périodique. Décrire alors les solutions $T$-périodiques.
- Application : $a=1$, $f(x)=|\sin x|$, $T=\pi$. Déterminer l'expression sur $[0,\pi]$ de l'unique solution $\pi$-périodique.
Indice 1
Pour 1, utiliser l'unicité de la solution du problème de Cauchy en $x_0=0$.
Indice 2
Pour 2, écrire la solution de condition initiale $y(0)=y_0$ à l'aide de la formule intégrale avec $A(x)=ax$, puis traduire $y(T)=y_0$.
Indice 3
Pour 3, les solutions sont les primitives de $f$.
Indice 4
Pour 4, une primitive de $t\mapsto e^t\sin t$ est de la forme $e^t(\alpha\sin t+\beta\cos t)$ ; la déterminer par dérivation ou par deux intégrations par parties.
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