Cas réel : énoncé (MPSI)
Cas réel
Soient $a,b\in\mathbb{R}$. Les solutions à valeurs réelles de $y''+ay'+by=0$ sont, avec $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ :
| Discriminant | Racines de $\chi$ | Solutions réelles |
|---|---|---|
| $\Delta>0$ | $r_1\neq r_2$ réelles | $\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}$ |
| $\Delta=0$ | $r_0$ réelle double | $(\lambda x+\mu)e^{r_0x}$ |
| $\Delta<0$ | $\alpha\pm i\beta$, $\beta>0$ | $e^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x)\big)$ |
Démonstration : Cas réel
Démonstration du cas $\Delta<0$
Les cas $\Delta\geqslant0$ se traitent comme dans le cas complexe, toutes les quantités étant réelles. Supposons $\Delta<0$ et notons $r=\alpha+i\beta$ ; l'autre racine est $\bar r$ car $\chi$ est à coefficients réels.
Ce sont des solutions. Comme $a,b$ sont réels, pour toute fonction $z$ à valeurs complexes, $\mathrm{Re}\big(z''+az'+bz\big)=(\mathrm{Re}\,z)''+a(\mathrm{Re}\,z)'+b\,\mathrm{Re}\,z$, et de même pour $\mathrm{Im}$. La fonction $e^{rx}$ est solution, donc ses parties réelle et imaginaire $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ et $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ le sont aussi, ainsi que leurs combinaisons linéaires réelles.
Ce sont les seules. Soit $y$ une solution réelle. C'est une solution complexe, donc $y(x)=c_1e^{rx}+c_2e^{\bar rx}$ avec $c_1,c_2\in\mathbb{C}$. Comme $y$ est réelle, $y=\mathrm{Re}(y)$, et $\mathrm{Re}(c_2e^{\bar rx})=\mathrm{Re}(\overline{c_2}e^{rx})$. Donc $y(x)=\mathrm{Re}(c\,e^{rx})$ avec $c=c_1+\overline{c_2}=u+iv$. Alors $$y(x)=\mathrm{Re}\big((u+iv)e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)\big)=e^{\alpha x}\big(u\cos\beta x-v\sin\beta x\big),$$ qui est de la forme annoncée avec $\lambda=u$, $\mu=-v$.
Les trois cas sur des équations réelles
a) $y''-3y'+2y=0$ : $r^2-3r+2=(r-1)(r-2)$, solutions $\lambda e^{x}+\mu e^{2x}$.
b) $y''+2y'+y=0$ : $(r+1)^2=0$, racine double $-1$, solutions $(\lambda x+\mu)e^{-x}$.
c) $y''+2y'+5y=0$ : $\Delta=4-20=-16$, racines $-1\pm2i$, solutions $e^{-x}\big(\lambda\cos(2x)+\mu\sin(2x)\big)$.
d) $y''+\omega^2y=0$ avec $\omega>0$ : racines $\pm i\omega$, solutions $\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x)$. C'est l'équation de l'oscillateur harmonique.
Forme amplitude-phase
En physique, on écrit souvent $\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x)=R\cos(\omega x-\varphi)$ avec $R=\sqrt{\lambda^2+\mu^2}$ et $\varphi$ tel que $\cos\varphi=\lambda/R$, $\sin\varphi=\mu/R$ (si $R\neq0$). Les deux écritures décrivent le même ensemble de solutions.