Cas complexe : énoncé (MPSI)
Cas complexe
Soient $a,b\in\mathbb{C}$. Les solutions à valeurs complexes de $y''+ay'+by=0$ sont :
- si $\Delta\neq0$, avec $r_1\neq r_2$ les deux racines : $x\mapsto\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}$, $(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2$ ;
- si $\Delta=0$, avec $r_0$ la racine double : $x\mapsto(\lambda x+\mu)e^{r_0x}$, $(\lambda,\mu)\in\mathbb{C}^2$.
Démonstration : Cas complexe
Démonstration
Soient $r_1,r_2$ les racines (éventuellement égales) de $\chi$, de sorte que $r_1+r_2=-a$ et $\chi(r_1)=0$. Soit $y$ deux fois dérivable ; posons $z(x)=y(x)e^{-r_1x}$, donc $y=ze^{r_1x}$. Alors $$y'=(z'+r_1z)e^{r_1x},\qquad y''=(z''+2r_1z'+r_1^2z)e^{r_1x},$$ et $$y''+ay'+by=\big(z''+(2r_1+a)z'+\chi(r_1)z\big)e^{r_1x}=\big(z''+(r_1-r_2)z'\big)e^{r_1x},$$ car $2r_1+a=2r_1-r_1-r_2=r_1-r_2$.
Ainsi $y$ est solution si et seulement si $w=z'$ vérifie $w'=(r_2-r_1)w$, c'est-à-dire, d'après la section 2, si et seulement s'il existe $c\in\mathbb{C}$ tel que $z'(x)=c\,e^{(r_2-r_1)x}$.
- Si $r_1\neq r_2$ : les primitives de $z'$ sont $z(x)=\dfrac{c}{r_2-r_1}e^{(r_2-r_1)x}+\mu$. En posant $\lambda=\dfrac{c}{r_2-r_1}$ (qui décrit $\mathbb{C}$ quand $c$ décrit $\mathbb{C}$), on obtient $y(x)=\lambda e^{r_2x}+\mu e^{r_1x}$.
- Si $r_1=r_2=r_0$ : $z'=c$, donc $z(x)=cx+\mu$ et $y(x)=(cx+\mu)e^{r_0x}$.
Toutes les étapes sont des équivalences : on a bien obtenu toutes les solutions, et seulement elles.
S’entraîner
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Second membre cosinus et conditions initiales
- Second membre exponentielle fois cosinus