Solutions de l'équation homogène : énoncé (MPSI)
Solutions de l'équation homogène
Soit $a : I\to\mathbb{K}$ continue et $A$ une primitive de $a$ sur $I$. Les solutions sur $I$ de $$y'+a(x)y=0$$ sont exactement les fonctions $$x\longmapsto \lambda\, e^{-A(x)},\qquad \lambda\in\mathbb{K}.$$
Démonstration : Solutions de l'équation homogène
Démonstration
La fonction $a$ est continue sur l'intervalle $I$, donc elle admet une primitive $A$, et $x\mapsto e^{A(x)}$ est dérivable de dérivée $a(x)e^{A(x)}$ (y compris si $a$ est à valeurs complexes).
Soit $y : I\to\mathbb{K}$ dérivable. Posons $z(x)=y(x)e^{A(x)}$. Alors $z$ est dérivable et $$z'(x)=y'(x)e^{A(x)}+a(x)y(x)e^{A(x)}=\big(y'(x)+a(x)y(x)\big)e^{A(x)}.$$ Comme $e^{A(x)}\neq 0$, on a l'équivalence : $y$ est solution de $(H)$ si et seulement si $z'=0$ sur $I$. Puisque $I$ est un intervalle, cela équivaut à : $z$ est constante, égale à un certain $\lambda\in\mathbb{K}$, c'est-à-dire $y(x)=\lambda e^{-A(x)}$ pour tout $x\in I$.
Deux calculs types
a) $y'+2xy=0$ sur $\mathbb{R}$. Ici $a(x)=2x$, une primitive est $A(x)=x^2$. Les solutions sont $x\mapsto \lambda e^{-x^2}$, $\lambda\in\mathbb{R}$.
b) $y'-\dfrac{y}{x}=0$ sur $]0,+\infty[$. Ici $a(x)=-\dfrac1x$, une primitive est $A(x)=-\ln x$, donc $e^{-A(x)}=e^{\ln x}=x$. Les solutions sont $x\mapsto\lambda x$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Vérification : si $y=\lambda x$, alors $y'-y/x=\lambda-\lambda=0$.
c) $y'-iy=0$ sur $\mathbb{R}$, à valeurs complexes. Ici $A(x)=-ix$ et les solutions sont $x\mapsto\lambda e^{ix}$, $\lambda\in\mathbb{C}$.
Conséquences
- L'ensemble des solutions de $(H)$ est une droite vectorielle : toutes les solutions sont proportionnelles à l'une d'elles qui ne s'annule pas.
- Une solution de $(H)$ qui s'annule en un point est la fonction nulle, car $e^{-A}$ ne s'annule jamais. Une solution non nulle à valeurs réelles garde donc un signe constant sur $I$.
- Le choix de la primitive $A$ est sans importance : changer $A$ en $A+c$ multiplie $e^{-A}$ par la constante $e^{-c}$, absorbée dans $\lambda$.
Le signe dans l'exponentielle
Pour $y'+a(x)y=0$, les solutions sont $\lambda e^{-A}$ avec un signe moins. Si l'équation s'écrit $y'=a(x)y$, elle équivaut à $y'-a(x)y=0$ et les solutions sont $\lambda e^{A}$. On vérifie toujours le signe en dérivant la solution obtenue.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Variation de la constante
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Solutions de l'équation homogène