a) Déterminer l'unique solution sur $\mathbb{R}$ de $y'+2y=4x$ vérifiant $y(0)=0$.
b) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+2y=3e^{-2x}$.
Commencer par résoudre l'équation homogène $y'+2y=0$, commune aux deux questions.
Pour a), chercher une solution particulière polynomiale de degré 1.
Pour b), comparer l'exposant $-2$ du second membre avec $-a$ : la fonction $e^{-2x}$ est-elle solution de l'homogène ?
L'équation homogène $y'+2y=0$ a pour solutions $x\mapsto\lambda e^{-2x}$, $\lambda\in\mathbb{R}$ (ici $a=2$, $A(x)=2x$).
a) Le second membre est un polynôme de degré $1$ (cas $\mu=0\neq-a$) : on cherche $y_p(x)=\alpha x+\beta$. Alors $y_p'+2y_p=2\alpha x+(\alpha+2\beta)$. L'égalité $y_p'+2y_p=4x$ pour tout $x$ équivaut à $2\alpha=4$ et $\alpha+2\beta=0$, soit $\alpha=2$ et $\beta=-1$. Les solutions sont $$y(x)=2x-1+\lambda e^{-2x},\quad\lambda\in\mathbb{R}.$$ On applique la condition initiale à cette solution générale : $y(0)=-1+\lambda=0$, donc $\lambda=1$. D'après le théorème de Cauchy, l'unique solution est $y(x)=2x-1+e^{-2x}$.
Vérification : $y'(x)=2-2e^{-2x}$ et $y'+2y=2-2e^{-2x}+4x-2+2e^{-2x}=4x$.
b) Le second membre est $3e^{\mu x}$ avec $\mu=-2=-a$ : la fonction $e^{-2x}$ est solution de l'homogène, donc aucune fonction $\alpha e^{-2x}$ ne convient. On cherche $y_p(x)=\alpha xe^{-2x}$. Alors $y_p'(x)=\alpha e^{-2x}-2\alpha xe^{-2x}$ et $y_p'+2y_p=\alpha e^{-2x}$. On prend $\alpha=3$. Les solutions sont $$y(x)=(3x+\lambda)e^{-2x},\quad\lambda\in\mathbb{R}.$$
a) $y(x)=2x-1+e^{-2x}$ ; b) $y(x)=(3x+\lambda)e^{-2x}$, $\lambda\in\mathbb{R}$