Développements et identités de polarisation : énoncé (MPSI)
Développements et identités de polarisation
Pour tous $x,y\in E$ : $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2,\qquad \|x-y\|^2=\|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2.$$ On en déduit les identités de polarisation, qui expriment le produit scalaire à l'aide de la norme : $$\langle x,y\rangle=\frac12\left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right)=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right),$$ et l'identité du parallélogramme : $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right).$$
Démonstration : Développements et identités de polarisation
Preuve
Par bilinéarité et symétrie : $$\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2.$$ On remplace $y$ par $-y$ pour la seconde égalité. La première identité de polarisation s'obtient en isolant $\langle x,y\rangle$. En soustrayant les deux développements, on obtient $\|x+y\|^2-\|x-y\|^2=4\langle x,y\rangle$. En les ajoutant, on obtient l'identité du parallélogramme.
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Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Développements et identités de polarisation