La norme associée est une norme : énoncé (MPSI)
La norme associée est une norme
Pour tous $x,y\in E$ et $\lambda\in\mathbb{R}$ :
- $\|x\|=0\iff x=0$ (séparation) ;
- $\|\lambda x\|=|\lambda|\,\|x\|$ (homogénéité) ;
- $\|x+y\|\leqslant\|x\|+\|y\|$ (inégalité triangulaire).
Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire : $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ si et seulement si $y=0$ ou il existe $\lambda\geqslant 0$ tel que $x=\lambda y$ (vecteurs positivement colinéaires).
Démonstration : La norme associée est une norme
Preuve de l'inégalité triangulaire
Séparation et homogénéité découlent directement du caractère défini et de la bilinéarité. Pour l'inégalité triangulaire, les deux membres sont positifs, il suffit de comparer les carrés : $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2\leqslant\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2,$$ par Cauchy-Schwarz ($\langle x,y\rangle\leqslant|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$).
Égalité si et seulement si $\langle x,y\rangle=\|x\|\|y\|$. Si $y\neq 0$, cela impose d'abord $(x,y)$ liée, soit $x=\lambda y$, puis $\lambda\|y\|^2=|\lambda|\|y\|^2$, soit $\lambda\geqslant 0$. La réciproque est immédiate.
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Espaces préhilbertiens réels : La norme associée est une norme