Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel et $f:E\to E$ une application, non supposée linéaire.
- On suppose que pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est linéaire et injective.
- On suppose que $f(0)=0$ et que pour tous $x,y\in E$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ conserve le produit scalaire, puis qu'elle est linéaire.
- Montrer par un exemple que, dans la question 2, l'hypothèse $f(0)=0$ ne peut pas être supprimée.
Pour l'additivité, développer $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|^2$ en six termes et utiliser l'hypothèse terme à terme.
Procéder de même avec $\|f(\lambda x)-\lambda f(x)\|^2$.
Pour la question 2, calculer d'abord $\|f(x)\|$, puis utiliser l'identité $\langle a,b\rangle=\frac12\left(\|a\|^2+\|b\|^2-\|a-b\|^2\right)$.
1. Soit $x,y\in E$. Notons $A=f(x+y)$, $B=f(x)$, $C=f(y)$. Par bilinéarité et symétrie : $$\|A-B-C\|^2=\|A\|^2+\|B\|^2+\|C\|^2-2\langle A,B\rangle-2\langle A,C\rangle+2\langle B,C\rangle.$$ Chaque terme est un produit scalaire d'images par $f$ ; l'hypothèse permet de remplacer $f(x+y),f(x),f(y)$ par $x+y,x,y$. On obtient le développement de $\|(x+y)-x-y\|^2=0$. Donc $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|^2=0$ et, par le caractère défini, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
De même, pour $\lambda\in\mathbb{R}$ : $$\|f(\lambda x)-\lambda f(x)\|^2=\|f(\lambda x)\|^2-2\lambda\langle f(\lambda x),f(x)\rangle+\lambda^2\|f(x)\|^2=\|\lambda x\|^2-2\lambda\langle\lambda x,x\rangle+\lambda^2\|x\|^2=\|\lambda x-\lambda x\|^2=0,$$ donc $f(\lambda x)=\lambda f(x)$. L'application $f$ est linéaire.
Injectivité : si $f(x)=0$, alors $\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\langle f(x),f(x)\rangle=0$, donc $x=0$. Le noyau de $f$ est nul.
2. Pour tout $x$, $\|f(x)\|=\|f(x)-f(0)\|=\|x-0\|=\|x\|$. Par l'identité de polarisation, pour tous $x,y$ : $$\langle f(x),f(y)\rangle=\frac12\left(\|f(x)\|^2+\|f(y)\|^2-\|f(x)-f(y)\|^2\right)=\frac12\left(\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\right)=\langle x,y\rangle.$$ $f$ conserve le produit scalaire ; d'après la question 1, elle est linéaire.
3. Si $E\neq\{0\}$, soit $a\neq0$ et $f:x\mapsto x+a$. Alors $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$ pour tous $x,y$, mais $f(0)=a\neq0$, donc $f$ n'est pas linéaire.
$f$ est linéaire et injective (dans les deux situations)