Prépa, 1re année › Espaces préhilbertiens réels › Utiliser Cauchy-Schwarz pour majorer
Utiliser Cauchy-Schwarz pour majorer : méthode (MPSI)
Méthode
Utiliser Cauchy-Schwarz pour majorer
- Repérer dans l'expression à majorer un produit scalaire $\langle x,y\rangle$ : une somme $\sum a_ib_i$, une intégrale $\int fg$, une trace $\operatorname{tr}(A^\top B)$.
- Choisir le découpage : souvent l'un des deux facteurs est « simple » ($1$, $\sqrt{a_i}$, etc.). Par exemple $\sum a_i=\sum \sqrt{a_i}\cdot\sqrt{a_i}\cdot\frac{1}{\sqrt{a_i}}\cdots$ selon le besoin.
- Écrire $|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$ et calculer les deux normes.
- Pour savoir si la majoration est optimale, examiner le cas d'égalité : $x$ et $y$ colinéaires.
S’entraîner
- Une inégalité classique par Cauchy-Schwarz
- Orthogonal d'un plan de $\mathbb{R}^4$
- Projection sur une droite et sur un plan
- Meilleure approximation par une matrice symétrique
- Approcher $|t|$ par un polynôme de degré 2
Dans le cours
Espaces préhilbertiens réels : Utiliser Cauchy-Schwarz pour majorer