Caractérisation des bases : énoncé (MPSI)
Caractérisation des bases
La famille finie $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $E$ si et seulement si l'application
$$\varphi:\mathbb{K}^n\to E,\quad (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mapsto\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$$
est bijective. Autrement dit : tout vecteur de $E$ se décompose, et de façon unique, sur la famille.
Démonstration : Caractérisation des bases
Preuve
La surjectivité de $\varphi$ signifie exactement que la famille est génératrice.
Si la famille est libre et si $\sum\lambda_ie_i=\sum\mu_ie_i$, alors $\sum(\lambda_i-\mu_i)e_i=0_E$, donc $\lambda_i=\mu_i$ pour tout $i$ : $\varphi$ est injective. Réciproquement, si $\varphi$ est injective et si $\sum\lambda_ie_i=0_E=\varphi(0,\ldots,0)$, alors $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)=(0,\ldots,0)$ : la famille est libre.
Donc la famille est une base si et seulement si $\varphi$ est bijective.
Bases canoniques
- Dans $\mathbb{K}^n$ : $e_1=(1,0,\ldots,0)$, …, $e_n=(0,\ldots,0,1)$. Les coordonnées de $(x_1,\ldots,x_n)$ sont $x_1,\ldots,x_n$.
- Dans $\mathbb{K}_n[X]$ : $(1,X,\ldots,X^n)$.
- Dans $\mathbb{K}[X]$ : la famille infinie $(X^k)_{k\in\mathbb{N}}$.
- Dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ : les matrices élémentaires $E_{ij}$ (coefficient $1$ en position $(i,j)$, $0$ ailleurs), et $M=\sum_{i,j}m_{ij}E_{ij}$.
Coordonnées dans une autre base. Dans $\mathbb{R}^2$, la famille $\big((1,1),(1,-1)\big)$ est une base. Pour $(3,1)=a(1,1)+b(1,-1)$ on résout $a+b=3$, $a-b=1$ : $a=2$, $b=1$. Les coordonnées de $(3,1)$ dans cette base sont $(2,1)$.
Suite du programme
La notion de dimension (nombre de vecteurs d'une base, théorème de la base incomplète, rang) fait l'objet du chapitre suivant. Ici, toutes les preuves de liberté, de génération et de supplémentarité se font sans elle, par calcul direct.
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Caractérisation des bases