OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Étudier la liberté d'une famille

Étudier la liberté d'une famille : méthode (MPSI)

Méthode

Étudier la liberté d'une famille

  1. Écrire une combinaison linéaire nulle $\sum\lambda_ix_i=0_E$ avec des scalaires inconnus.
  2. Traduire cette égalité en conditions sur les $\lambda_i$ : système linéaire dans $\mathbb{K}^n$, identification des coefficients pour des polynômes, évaluation en des points bien choisis ou passage à la limite pour des fonctions.
  3. Si l'on obtient $\lambda_1=\cdots=\lambda_p=0$, la famille est libre. Sinon, une solution non nulle fournit une relation de liaison explicite, qu'il faut écrire.
Exemple

Une famille de fonctions

Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, la famille $(\cos,\sin)$ est libre. En effet, si $a\cos+b\sin=0$ (fonction nulle), alors pour tout réel $t$, $a\cos t+b\sin t=0$. En $t=0$ on obtient $a=0$, en $t=\frac{\pi}{2}$ on obtient $b=0$.

S’entraîner

Dans le cours

Espaces vectoriels et applications linéaires : Étudier la liberté d'une famille