Calcul dans L(E)Caractérisation des projecteursImage et noyau d'une somme
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$. On note $pq$ pour $p\circ q$.
- Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $pq+qp=0$.
- Montrer que $pq+qp=0$ si et seulement si $pq=qp=0$.
- On suppose $pq=qp=0$. Montrer que $\operatorname{Im}(p+q)=\operatorname{Im} p\oplus\operatorname{Im} q$ et $\ker(p+q)=\ker p\cap\ker q$.
Indice 1
Développer $(p+q)^2$ en faisant attention à l'ordre des facteurs.
Indice 2
Composer l'égalité $pq+qp=0$ à gauche par $p$, puis à droite par $p$.
Indice 3
Pour l'image, montrer qu'un vecteur $p(a)+q(b)$ est fixe par $p+q$.
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