Prépa, 1re année › Espaces vectoriels et applications linéaires › Polynômes de degrés échelonnés
Polynômes de degrés échelonnés : énoncé (MPSI)
Propriété
Polynômes de degrés échelonnés
Soit $(P_0,\ldots,P_n)$ une famille de polynômes non nuls de $\mathbb{K}[X]$ telle que $\deg P_0<\deg P_1<\cdots<\deg P_n$. Alors cette famille est libre.
C'est le cas en particulier si $\deg P_k=k$ pour tout $k$.
Démonstration : Polynômes de degrés échelonnés
Démonstration
Preuve
Supposons $\sum_{k=0}^{n}\lambda_kP_k=0$ avec des $\lambda_k$ non tous nuls. Soit $m$ le plus grand indice tel que $\lambda_m\neq 0$. Alors $\sum_{k=0}^{m}\lambda_kP_k=0$. Or $\lambda_mP_m$ est de degré $\deg P_m$ et chaque $\lambda_kP_k$ pour $k<m$ est nul ou de degré strictement inférieur à $\deg P_m$. La somme est donc de degré $\deg P_m\geq 0$, elle n'est pas nulle : contradiction. Tous les $\lambda_k$ sont nuls.
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Dans le cours
Espaces vectoriels et applications linéaires : Polynômes de degrés échelonnés