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Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Primitive d'une fonction rationnelle

Primitive d'une fonction rationnelle : méthode (MPSI)

Méthode

Primitive d'une fonction rationnelle

  1. Décomposer en éléments simples sur $\mathbb{R}$.
  2. Partie entière : primitive d'un polynôme.
  3. Première espèce : $\ln|x-a|$ ou $-\dfrac{1}{(j-1)(x-a)^{j-1}}$.
  4. Seconde espèce d'exposant 1, $\dfrac{bx+c}{x^2+px+q}$ :
    • faire apparaître la dérivée du dénominateur : $bx+c=\dfrac b2(2x+p)+\left(c-\dfrac{bp}{2}\right)$ ; la première partie donne $\dfrac b2\ln(x^2+px+q)$ (pas de valeur absolue, le trinôme est positif) ;
    • mettre le trinôme sous forme canonique $\left(x+\dfrac p2\right)^2+\delta^2$ avec $\delta=\sqrt{q-\dfrac{p^2}{4}}$ ; la seconde partie donne une arctangente.
  5. Préciser l'intervalle de travail, qui ne contient aucun pôle réel.
Exemple

Logarithme et arctangente

Primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x)=\dfrac{x+3}{x^2+2x+5}$. Le discriminant vaut $4-20<0$. On écrit $x+3=\dfrac12(2x+2)+2$ et $x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2$ : $$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac12\ln(x^2+2x+5)+2\cdot\frac12\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)=\frac12\ln(x^2+2x+5)+\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right).$$

Exemple

Une intégrale avec pôle double

Calcul de $I=\displaystyle\int_2^3\frac{\mathrm{d}x}{x(x-1)^2}$. D'après la décomposition obtenue plus haut, sur $]1,+\infty[$ une primitive est $x\mapsto\ln x-\ln(x-1)-\dfrac{1}{x-1}$. Donc $$I=\left(\ln3-\ln2-\frac12\right)-\left(\ln2-0-1\right)=\ln\frac34+\frac12.$$

Exemple

Une primitive impaire

Sur $]0,+\infty[$, avec $\dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac1x-\dfrac{x}{x^2+1}$ : $$\int\frac{\mathrm{d}x}{x(x^2+1)}=\ln x-\frac12\ln(x^2+1).$$

Remarque

Seconde espèce avec exposant au moins 2

Pour $\dfrac{bx+c}{(x^2+px+q)^j}$ avec $j\geqslant 2$, la partie en $2x+p$ s'intègre directement en $-\dfrac{1}{(j-1)(x^2+px+q)^{j-1}}$. Le reste se ramène, par un changement de variable affine, à $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+1)^j}$, que l'on traite par intégration par parties (relation de récurrence sur $j$). Ces calculs sont toujours guidés par l'énoncé.

S’entraîner

Dans le cours

Fractions rationnelles : Primitive d'une fonction rationnelle