Traiter un pôle de multiplicité 3Développer en puissances de $X$ au voisinage du pôleCalculer une intégrale de fonction rationnelle
- Décomposer en éléments simples sur $\mathbb{R}$ la fraction $F=\dfrac{1}{X^3(X+1)}$.
- En déduire la valeur de $I=\displaystyle\int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x^3(x+1)}$.
Indice 1
Le pôle $0$ est triple : la partie polaire comporte trois termes.
Indice 2
Vérifier que $(1-X+X^2)(1+X)=1+X^3$ et en déduire une écriture de $\frac{1}{1+X}$.
Indice 3
Une primitive de $\frac{1}{x^3}$ est $-\frac{1}{2x^2}$.
Corrigé
- Le numérateur $1$ est premier avec le dénominateur. $\deg F=-4<0$ : partie entière nulle. Pôles : $0$ triple, $-1$ simple. On cherche $$F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X^2}+\frac{c}{X^3}+\frac{d}{X+1}.$$
- Pôle simple $-1$ : $d=\dfrac{1}{(-1)^3}=-1$.
- On multiplie par $X^3$ et on évalue en $0$ : $c=\dfrac{1}{0+1}=1$.
- Pour obtenir toute la partie polaire en $0$, on écrit $\dfrac{1}{1+X}$ en puissances de $X$. Comme $(1-X+X^2)(1+X)=1+X^3$, on a $1-X+X^2=\dfrac{1}{1+X}+\dfrac{X^3}{1+X}$, soit $$\frac{1}{1+X}=1-X+X^2-\frac{X^3}{1+X}.$$ En divisant par $X^3$ : $$F=\frac{1}{X^3}-\frac{1}{X^2}+\frac1X-\frac{1}{X+1}.$$ C'est une somme d'éléments simples ; par unicité, c'est la décomposition cherchée ($a=1$, $b=-1$, $c=1$, $d=-1$, en accord avec les calculs précédents).
Vérifications : $\lim xF(x)=0$ et $a+d=0$ ; en $1$, $F(1)=\dfrac12$ et $1-1+1-\dfrac12=\dfrac12$.
- Sur $[1,2]\subset\,]0,+\infty[$, une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x^3(x+1)}$ est $$G(x)=-\frac{1}{2x^2}+\frac1x+\ln x-\ln(x+1).$$ $G(2)=-\dfrac18+\dfrac12+\ln\dfrac23=\dfrac38+\ln\dfrac23$ et $G(1)=-\dfrac12+1-\ln2=\dfrac12-\ln2$. Donc $$I=\frac38-\frac12+\ln\frac23+\ln2=\ln\frac43-\frac18\approx0{,}163.$$
Résultat :
$F=\dfrac{1}{X^3}-\dfrac{1}{X^2}+\dfrac1X-\dfrac{1}{X+1}$ ; $I=\ln\frac43-\frac18$