On considère $F=\dfrac{X^3-X}{X^4-2X^3+X^2}\in\mathbb{R}(X)$.
- Déterminer la forme irréductible de $F$, avec un dénominateur unitaire.
- Donner les zéros et les pôles de $F$, avec leur multiplicité.
- Calculer $\deg F$ et l'ensemble de définition $\mathcal{D}_F$ de la fonction rationnelle associée.
Factoriser complètement le numérateur et le dénominateur.
Le dénominateur contient le carré d'un trinôme remarquable.
Les pôles se lisent après simplification, pas avant.
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On factorise : $$X^3-X=X(X-1)(X+1),\qquad X^4-2X^3+X^2=X^2(X^2-2X+1)=X^2(X-1)^2.$$ On simplifie par le facteur commun $X(X-1)$ : $$F=\frac{X+1}{X(X-1)}=\frac{X+1}{X^2-X}.$$ Les racines de $X^2-X$ sont $0$ et $1$ ; aucune n'est racine de $X+1$. Les deux polynômes n'ont donc aucune racine complexe commune : ils sont premiers entre eux. Le dénominateur est unitaire, c'est la forme irréductible.
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On lit sur la forme irréductible.
- Zéros : racines de $X+1$, soit $-1$, de multiplicité $1$.
- Pôles : racines de $X(X-1)$, soit $0$ et $1$, tous deux simples.
L'écriture de départ laissait croire à des pôles doubles en $0$ et en $1$ : c'est faux, la simplification a fait baisser les multiplicités.
- $\deg F=1-2=-1$. On retrouve $3-4=-1$ sur l'écriture initiale, le degré ne dépendant pas du représentant. La fonction rationnelle associée est définie hors des pôles : $\mathcal{D}_F=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.
$F=\dfrac{X+1}{X(X-1)}$ ; zéro $-1$ simple ; pôles $0$ et $1$ simples ; $\deg F=-1$ ; $\mathcal{D}_F=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$