Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Primitives des éléments simples
Primitives des éléments simples : énoncé (MPSI)
Propriété
Primitives des éléments simples
Sur tout intervalle ne contenant pas $a\in\mathbb{R}$ : $$\int\frac{\mathrm{d}x}{x-a}=\ln|x-a|,\qquad \int\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^j}=-\frac{1}{(j-1)(x-a)^{j-1}}\ (j\geqslant 2).$$ Pour $\alpha\in\mathbb{R}$ et $\delta>0$, sur $\mathbb{R}$ : $$\int\frac{\mathrm{d}x}{(x+\alpha)^2+\delta^2}=\frac{1}{\delta}\arctan\left(\frac{x+\alpha}{\delta}\right).$$
Démonstration : Primitives des éléments simples
Démonstration
Primitive en arctangente
La dérivée de $x\mapsto\dfrac{1}{\delta}\arctan\left(\dfrac{x+\alpha}{\delta}\right)$ vaut $$\frac{1}{\delta}\cdot\frac{1}{\delta}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x+\alpha}{\delta}\right)^2}=\frac{1}{\delta^2+(x+\alpha)^2}.$$
S’entraîner
- Trois pôles simples
- Un pôle double et un pôle simple
- Élément de seconde espèce et primitive
- Pôle triple et calcul d'intégrale
- De C à R : la fraction 1/(X^3+1)