Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Partie entière
Partie entière : énoncé (MPSI)
Théorème
Partie entière
Pour toute $F\in\mathbb{K}(X)$, il existe un unique couple $(E,G)$ avec $E\in\mathbb{K}[X]$ et $G\in\mathbb{K}(X)$ tel que $$F=E+G\quad\text{et}\quad\deg G<0.$$ Le polynôme $E$ s'appelle la partie entière de $F$.
Démonstration : Partie entière
Démonstration
Existence et unicité de la partie entière
Existence. Écrivons $F=\dfrac{P}{Q}$ et effectuons la division euclidienne $P=QE+R$ avec $\deg R<\deg Q$. Alors $$F=E+\frac{R}{Q},\qquad \deg\frac{R}{Q}=\deg R-\deg Q<0.$$ Unicité. Si $E+G=E_1+G_1$ avec $\deg G<0$ et $\deg G_1<0$, alors $E-E_1=G_1-G$. À gauche figure un polynôme ; à droite une fraction de degré $\leqslant\max(\deg G_1,\deg G)<0$. Un polynôme de degré strictement négatif est nul : $E=E_1$, puis $G=G_1$.