Déterminer la partie entière $E$ et le reste $F-E$ (de degré strictement négatif) pour chacune des fractions suivantes :
- $F_1=\dfrac{3X^2+1}{X^2-4}$ ;
- $F_2=\dfrac{2X^4+X^3-1}{X^2+X+1}$ ;
- $F_3=\dfrac{X^5}{X^2-1}$.
Comparer d'abord les degrés du numérateur et du dénominateur.
Pour $F_2$, effectuer la division euclidienne terme à terme en partant du terme dominant.
Pour $F_3$, écrire $X^5=X^3(X^2-1)+X^3$ et recommencer avec $X^3$.
-
Les degrés sont égaux à $2$ : la partie entière est le quotient des coefficients dominants, $E_1=3$. Plus précisément $3X^2+1=3(X^2-4)+13$, donc $$F_1=3+\frac{13}{X^2-4}.$$
-
$\deg(2X^4+X^3-1)=4>2$ : on effectue la division euclidienne par $X^2+X+1$.
- $2X^4+X^3-1-2X^2(X^2+X+1)=-X^3-2X^2-1$ ;
- $-X^3-2X^2-1+X(X^2+X+1)=-X^2+X-1$ ;
- $-X^2+X-1+(X^2+X+1)=2X$.
Ainsi $2X^4+X^3-1=(X^2+X+1)(2X^2-X-1)+2X$ avec $\deg(2X)=1<2$. Donc $E_2=2X^2-X-1$ et $$F_2=2X^2-X-1+\frac{2X}{X^2+X+1}.$$ Contrôle : $(X^2+X+1)(2X^2-X-1)=2X^4+X^3-2X-1$, et en ajoutant $2X$ on retrouve $2X^4+X^3-1$.
- On fait apparaître $X^2-1$ : $X^5=X^3(X^2-1)+X^3$ et $X^3=X(X^2-1)+X$. Donc $X^5=(X^3+X)(X^2-1)+X$, avec $\deg X=1<2$. Par unicité de la partie entière, $E_3=X^3+X$ et $$F_3=X^3+X+\frac{X}{X^2-1}.$$
$E_1=3$, $E_2=2X^2-X-1$, $E_3=X^3+X$