Prépa, 1re année › Fractions rationnelles › Calculer la partie entière de P/Q
Calculer la partie entière de P/Q : méthode (MPSI)
Méthode
Calculer la partie entière de P/Q
- Si $\deg P<\deg Q$, la partie entière est nulle.
- Si $\deg P=\deg Q$, la partie entière est la constante $\dfrac{a_p}{b_q}$, quotient des coefficients dominants.
- Si $\deg P>\deg Q$, on effectue la division euclidienne de $P$ par $Q$ : la partie entière est le quotient, de degré $\deg P-\deg Q$.
Astuce : on peut aussi faire apparaître $Q$ dans $P$ à la main, par exemple $X^2=(X^2-1)+1$.
Exemple
Une division euclidienne
Soit $F=\dfrac{X^3+2X}{X^2-1}$. On écrit $X^3+2X=X(X^2-1)+3X$. Donc $$F=X+\frac{3X}{X^2-1},$$ et la partie entière de $F$ est $X$. Le reste $\dfrac{3X}{X^2-1}$ est de degré $-1$ ; on le décomposera dans la section suivante.
S’entraîner
- Forme irréductible, zéros et pôles
- Trois parties entières
- Un pôle double et un pôle simple
- Élément de seconde espèce et primitive
- Pôle triple et calcul d'intégrale