Exercice corrigé : Les sommes de Lagrange

Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ de degré $n\geqslant2$, de coefficient dominant $c$, ayant $n$ racines distinctes $x_1,\dots,x_n$. Pour $0\leqslant j\leqslant n-1$, on pose $S_j=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k^j}{P'(x_k)}$.

1. Décomposer $\dfrac1P$ en éléments simples sur $\mathbb{C}$.
2. Montrer que pour $0\leqslant j\leqslant n-1$ : $\dfrac{X^j}{P}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{x_k^j}{P'(x_k)(X-x_k)}$.
3. En déduire la valeur de $S_j$ selon $j$.
4. Application : pour $a,b,c$ complexes distincts, calculer $$A=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)},\qquad B=\frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}.$$