Calculer $$I=\int_0^1\frac{x^3+2}{x^2+2x+2}\,\mathrm{d}x.$$
Commencer par la division euclidienne de $X^3+2$ par $X^2+2X+2$.
Dans le reste $2x+6$, faire apparaître $2x+2$, dérivée du dénominateur.
$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$.
Le trinôme $x^2+2x+2$ a pour discriminant $4-8=-4<0$ : il ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$ et la fonction intégrée est continue sur $[0,1]$.
Partie entière. $x^3+2-x(x^2+2x+2)=-2x^2-2x+2$, puis $-2x^2-2x+2+2(x^2+2x+2)=2x+6$. Donc $$x^3+2=(x^2+2x+2)(x-2)+2x+6,\qquad \frac{x^3+2}{x^2+2x+2}=x-2+\frac{2x+6}{x^2+2x+2}.$$ Contrôle : $(x^2+2x+2)(x-2)=x^3-2x-4$, et $x^3-2x-4+2x+6=x^3+2$.
Seconde espèce. $2x+6=(2x+2)+4$ et $x^2+2x+2=(x+1)^2+1$, donc $$\frac{2x+6}{x^2+2x+2}=\frac{2x+2}{x^2+2x+2}+\frac{4}{(x+1)^2+1}.$$ Primitive sur $\mathbb{R}$ (pas de valeur absolue, le trinôme est positif) : $$G(x)=\frac{x^2}{2}-2x+\ln(x^2+2x+2)+4\arctan(x+1).$$ Calcul. $G(1)=\dfrac12-2+\ln5+4\arctan2$ et $G(0)=\ln2+4\cdot\dfrac{\pi}{4}=\ln2+\pi$. Donc $$I=\ln\frac52-\frac32+4\arctan2-\pi\approx0{,}703.$$ Remarque : $\arctan2-\frac{\pi}{4}\in\left]0,\frac{\pi}{4}\right[$ et $\tan\left(\arctan2-\frac\pi4\right)=\dfrac{2-1}{1+2}=\dfrac13$, donc $4\arctan2-\pi=4\arctan\dfrac13$.
$I=\ln\frac52-\frac32+4\arctan2-\pi$