Écriture en deux lignes : définition (MPSI)
Écriture en deux lignes
On représente $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ par le tableau $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.$$ La deuxième ligne contient chaque entier de $[\![1,n]\!]$ exactement une fois. Pour obtenir $\sigma^{-1}$, on échange les deux lignes puis on réordonne les colonnes.
Composer dans $\mathfrak{S}_3$
Soit $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}$ et $\tau=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&3&2\end{pmatrix}$.
Calcul de $\sigma\tau$ : $1 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2$, $2 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 3$, $3 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 1$. Donc $\sigma\tau=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}$.
Calcul de $\tau\sigma$ : $1 \xrightarrow{\sigma} 2 \xrightarrow{\tau} 3$, $2 \xrightarrow{\sigma} 1 \xrightarrow{\tau} 1$, $3 \xrightarrow{\sigma} 3 \xrightarrow{\tau} 2$. Donc $\tau\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&1&2\end{pmatrix}$.
On a $\sigma\tau \neq \tau\sigma$.
Réciproque : $\sigma\tau$ envoie $1\mapsto2$, $2\mapsto3$, $3\mapsto1$, donc $(\sigma\tau)^{-1}$ envoie $2\mapsto1$, $3\mapsto2$, $1\mapsto3$, soit $(\sigma\tau)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&1&2\end{pmatrix}=\tau\sigma$.
Ensemble fini quelconque
Si $E$ est fini de cardinal $n$ et $f : [\![1,n]\!] \to E$ une bijection, l'application $\sigma \mapsto f\sigma f^{-1}$ est un isomorphisme de $\mathfrak{S}_n$ sur $\mathfrak{S}(E)$. Tout ce qui suit s'applique donc à n'importe quel ensemble fini.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Conjugaison de permutations
- Carrés dans le groupe symétrique