On travaille dans $\mathfrak{S}_5$. Soit $\sigma=(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ et $\tau=(2\ 4\ 5)(1\ 3)$.
- Trouver $\gamma\in\mathfrak{S}_5$ telle que $\gamma\sigma\gamma^{-1}=\tau$.
- Déterminer le nombre de permutations $\gamma\in\mathfrak{S}_5$ telles que $\gamma\sigma\gamma^{-1}=\tau$.
- Calculer $(1\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5)(1\ 2)$ de deux façons.
- Montrer que $(1\ 2\ 3\ 4)$ et $(1\ 2)(3\ 4)$ ne sont pas conjuguées dans $\mathfrak{S}_5$, c'est-à-dire qu'il n'existe pas $\gamma$ avec $\gamma(1\ 2\ 3\ 4)\gamma^{-1}=(1\ 2)(3\ 4)$.
Écrire $\gamma\sigma\gamma^{-1}=\gamma(1\ 2\ 3)\gamma^{-1}\cdot\gamma(4\ 5)\gamma^{-1}$ et appliquer la formule du conjugué à chaque facteur.
Pour compter, utiliser l'unicité de la décomposition en cycles disjoints et les différentes écritures d'un même cycle.
Pour la question 4, un invariant simple suffit : signature, ou forme de la décomposition.
- Pour tout $\gamma$, $\gamma\sigma\gamma^{-1}=\gamma(1\ 2\ 3)\gamma^{-1}\,\gamma(4\ 5)\gamma^{-1}=(\gamma(1)\ \gamma(2)\ \gamma(3))(\gamma(4)\ \gamma(5))$ par la formule du conjugué.
Il suffit donc de prendre $\gamma(1)=2$, $\gamma(2)=4$, $\gamma(3)=5$, $\gamma(4)=1$, $\gamma(5)=3$, soit $$\gamma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&4&5&1&3\end{pmatrix}=(1\ 2\ 4)(3\ 5).$$ C'est bien une bijection, et $\gamma\sigma\gamma^{-1}=(2\ 4\ 5)(1\ 3)=\tau$.
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Soit $\gamma$ quelconque. La permutation $(\gamma(1)\ \gamma(2)\ \gamma(3))(\gamma(4)\ \gamma(5))$ est un produit d'un 3-cycle et d'une transposition à supports disjoints (les $\gamma(i)$ sont distincts) : c'est sa décomposition en cycles disjoints. Par unicité de la décomposition, $\gamma\sigma\gamma^{-1}=\tau$ équivaut à $$(\gamma(1)\ \gamma(2)\ \gamma(3))=(2\ 4\ 5)\quad\text{et}\quad(\gamma(4)\ \gamma(5))=(1\ 3).$$ La première condition signifie que $(\gamma(1),\gamma(2),\gamma(3))$ est l'une des 3 écritures $(2,4,5)$, $(4,5,2)$, $(5,2,4)$. La seconde signifie $(\gamma(4),\gamma(5))\in\{(1,3),(3,1)\}$. Ces choix sont indépendants et définissent chacun une permutation. Il y a donc $3\times2=6$ permutations $\gamma$ convenables.
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Première façon, par la formule du conjugué avec $\gamma=(1\ 2)=\gamma^{-1}$ : $$(1\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5)(1\ 2)=(2\ 1\ 3\ 4\ 5)=(1\ 3\ 4\ 5\ 2).$$ Deuxième façon, directement (de droite à gauche) : $1\mapsto2\mapsto3\mapsto3$ ; $3\mapsto3\mapsto4\mapsto4$ ; $4\mapsto5$ ; $5\mapsto5\mapsto1\mapsto2$ ; $2\mapsto1\mapsto2\mapsto1$. On obtient bien $(1\ 3\ 4\ 5\ 2)$.
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Pour tout $\gamma$, $\varepsilon(\gamma(1\ 2\ 3\ 4)\gamma^{-1})=\varepsilon((1\ 2\ 3\ 4))=(-1)^3=-1$, alors que $\varepsilon((1\ 2)(3\ 4))=1$. Ces deux permutations ne sont donc pas conjuguées. (Autre argument : le conjugué d'un 4-cycle est un 4-cycle, et $(1\ 2)(3\ 4)$ n'est pas un 4-cycle par unicité de la décomposition.)
$\gamma=(1\ 2\ 4)(3\ 5)$ convient ; 6 solutions ; $(1\ 2)(1\ 2\ 3\ 4\ 5)(1\ 2)=(1\ 3\ 4\ 5\ 2)$