On considère dans $\mathfrak{S}_5$ les permutations $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 3&5&4&1&2\end{pmatrix},\qquad \tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&5&3&4\end{pmatrix}.$$
- Calculer $\sigma\tau$ et $\tau\sigma$ en écriture en deux lignes, puis comme produit de cycles à supports disjoints. Les permutations $\sigma$ et $\tau$ commutent-elles ?
- Calculer $\sigma^{-1}$ et $\tau^{-1}$.
- Déterminer $(\sigma\tau)^{-1}$ et vérifier sur cet exemple que $(\sigma\tau)^{-1}=\tau^{-1}\sigma^{-1}$.
Pour calculer $\sigma\tau(x)$, on applique d'abord $\tau$ à $x$, puis $\sigma$ au résultat.
Pour la réciproque, on lit le tableau de bas en haut : si $\sigma(a)=b$, alors $\sigma^{-1}(b)=a$.
Pour la question 3, regarder ce que fait $\sigma\tau$ sur 1 et 5, puis sur 2 et 3.
- On calcule $\sigma\tau(x)=\sigma(\tau(x))$ :
- $1\xrightarrow{\tau}2\xrightarrow{\sigma}5$ ;
- $2\xrightarrow{\tau}1\xrightarrow{\sigma}3$ ;
- $3\xrightarrow{\tau}5\xrightarrow{\sigma}2$ ;
- $4\xrightarrow{\tau}3\xrightarrow{\sigma}4$ ;
- $5\xrightarrow{\tau}4\xrightarrow{\sigma}1$.
Donc $$\sigma\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 5&3&2&4&1\end{pmatrix}=(1\ 5)(2\ 3).$$ De même, $\tau\sigma(x)=\tau(\sigma(x))$ :
- $1\xrightarrow{\sigma}3\xrightarrow{\tau}5$ ;
- $2\xrightarrow{\sigma}5\xrightarrow{\tau}4$ ;
- $3\xrightarrow{\sigma}4\xrightarrow{\tau}3$ ;
- $4\xrightarrow{\sigma}1\xrightarrow{\tau}2$ ;
- $5\xrightarrow{\sigma}2\xrightarrow{\tau}1$.
Donc $$\tau\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 5&4&3&2&1\end{pmatrix}=(1\ 5)(2\ 4).$$ Comme $\sigma\tau(2)=3$ et $\tau\sigma(2)=4$, on a $\sigma\tau\neq\tau\sigma$ : $\sigma$ et $\tau$ ne commutent pas.
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On a $\sigma(1)=3$, $\sigma(2)=5$, $\sigma(3)=4$, $\sigma(4)=1$, $\sigma(5)=2$, donc $\sigma^{-1}(3)=1$, $\sigma^{-1}(5)=2$, $\sigma^{-1}(4)=3$, $\sigma^{-1}(1)=4$, $\sigma^{-1}(2)=5$. En réordonnant : $$\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 4&5&1&3&2\end{pmatrix}.$$ De même, $\tau(1)=2$, $\tau(2)=1$, $\tau(3)=5$, $\tau(4)=3$, $\tau(5)=4$ donnent $$\tau^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&4&5&3\end{pmatrix}.$$ Contrôle : $\sigma\sigma^{-1}(1)=\sigma(4)=1$, $\sigma\sigma^{-1}(2)=\sigma(5)=2$, etc.
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$\sigma\tau=(1\ 5)(2\ 3)$ est un produit de deux transpositions à supports disjoints, qui commutent. Donc $(\sigma\tau)^2=(1\ 5)^2(2\ 3)^2=\mathrm{id}$ et $(\sigma\tau)^{-1}=\sigma\tau$.
Calculons $\tau^{-1}\sigma^{-1}(x)=\tau^{-1}(\sigma^{-1}(x))$ :
- $1\mapsto4\mapsto5$ ; $2\mapsto5\mapsto3$ ; $3\mapsto1\mapsto2$ ; $4\mapsto3\mapsto4$ ; $5\mapsto2\mapsto1$.
Donc $\tau^{-1}\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 5&3&2&4&1\end{pmatrix}=\sigma\tau=(\sigma\tau)^{-1}$. L'égalité $(\sigma\tau)^{-1}=\tau^{-1}\sigma^{-1}$ est vérifiée. On remarque que l'ordre des facteurs s'inverse.
$\sigma\tau=(1\ 5)(2\ 3)$, $\tau\sigma=(1\ 5)(2\ 4)$, $\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 4&5&1&3&2\end{pmatrix}$, $\tau^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\ 2&1&4&5&3\end{pmatrix}$, $(\sigma\tau)^{-1}=\sigma\tau$