On dit que $\pi\in\mathfrak{S}_n$ est un carré s'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ tel que $\pi=\sigma^2$.
- Montrer que tout carré appartient à $\mathfrak{A}_n$.
- En déduire que, pour $n\geqslant4$, $(1\ 2\ 3\ 4)$ n'est pas un carré, et qu'aucune transposition n'est un carré.
- Vérifier que $(1\ 2\ 3)=(1\ 3\ 2)^2$ et $(1\ 2)(3\ 4)=(1\ 3\ 2\ 4)^2$.
- Soit $c=(a_1\ \cdots\ a_k)$ un $k$-cycle avec $k\geqslant3$. Montrer que $c^2$ est un $k$-cycle si $k$ est impair, et un produit de deux cycles disjoints de longueur $\frac k2$ si $k$ est pair.
- Montrer que, dans la décomposition en cycles disjoints d'un carré, le nombre de cycles de longueur 4 est pair. En déduire que $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6)$ est un élément de $\mathfrak{A}_6$ qui n'est pas un carré dans $\mathfrak{S}_6$.
$\varepsilon$ est un morphisme à valeurs dans $\{-1,1\}$.
Pour la question 4, utiliser $c^2(a_j)=a_{j+2}$ et distinguer les indices pairs et impairs.
Pour la question 5, décomposer $\sigma$ en cycles disjoints, élever au carré cycle par cycle, puis invoquer l'unicité de la décomposition de $\sigma^2$.
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Si $\pi=\sigma^2$, alors $\varepsilon(\pi)=\varepsilon(\sigma)^2=1$ car $\varepsilon(\sigma)\in\{-1,1\}$. Donc $\pi\in\mathfrak{A}_n$.
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$\varepsilon((1\ 2\ 3\ 4))=(-1)^3=-1$ et toute transposition a pour signature $-1$. Ces permutations ne sont pas dans $\mathfrak{A}_n$, donc ne sont pas des carrés.
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$(1\ 3\ 2)^2$ : $1\mapsto3\mapsto2$, $2\mapsto1\mapsto3$, $3\mapsto2\mapsto1$, donc $(1\ 3\ 2)^2=(1\ 2\ 3)$.
$(1\ 3\ 2\ 4)$ envoie $1\mapsto3$, $3\mapsto2$, $2\mapsto4$, $4\mapsto1$. Son carré envoie $1\mapsto2$, $2\mapsto1$, $3\mapsto4$, $4\mapsto3$ : c'est $(1\ 2)(3\ 4)$.
- On a $c^2(a_j)=a_{j+2}$ (indices modulo $k$), et $c^2$ fixe les points hors de $\{a_1,\dots,a_k\}$.
- Si $k$ est impair, en partant de $a_1$ on obtient successivement $a_1,a_3,\dots,a_k,a_{k+2}=a_2,a_4,\dots,a_{k-1}$, puis $a_{k+1}=a_1$. Les $k$ éléments sont parcourus avant le retour à $a_1$ : $c^2=(a_1\ a_3\ \cdots\ a_k\ a_2\ a_4\ \cdots\ a_{k-1})$ est un $k$-cycle.
- Si $k$ est pair, l'ajout de 2 conserve la parité de l'indice (car $k$ est pair) : $c^2=(a_1\ a_3\ \cdots\ a_{k-1})(a_2\ a_4\ \cdots\ a_k)$, produit de deux cycles disjoints de longueur $\frac k2\geqslant2$.
(Pour $k=2$, $c^2=\mathrm{id}$.)
- Soit $\pi=\sigma^2$ et $\sigma=c_1\cdots c_r$ la décomposition de $\sigma$ en cycles disjoints. Les $c_i$ commutent, donc $\pi=c_1^2\cdots c_r^2$. D'après la question 4, chaque $c_i^2$ est l'identité ou un produit de cycles disjoints de supports inclus dans $\mathrm{Supp}(c_i)$. Les supports des $c_i$ étant deux à deux disjoints, on obtient une écriture de $\pi$ comme produit de cycles à supports deux à deux disjoints : par unicité, c'est la décomposition de $\pi$.
Un cycle de longueur 4 de cette décomposition provient d'un $c_i$ de longueur $k$ : si $k$ est impair, $c_i^2$ est un $k$-cycle et $k\neq4$ ; si $k=2$, $c_i^2=\mathrm{id}$ ; si $k\geqslant4$ est pair, $c_i^2$ fournit deux cycles de longueur $\frac k2$, égale à 4 si et seulement si $k=8$. Les cycles de longueur 4 de $\pi$ vont donc par deux, un couple par 8-cycle de $\sigma$ : leur nombre est pair.
La permutation $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6)$ a deux cycles de longueur paire, donc est dans $\mathfrak{A}_6$. Mais sa décomposition contient un seul cycle de longueur 4 : ce n'est pas un carré. La réciproque de la question 1 est donc fausse.
Tout carré est pair ; $(1\ 2\ 3)=(1\ 3\ 2)^2$, $(1\ 2)(3\ 4)=(1\ 3\ 2\ 4)^2$ ; $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6)\in\mathfrak{A}_6$ n'est pas un carré