Opérations sur les limites : énoncé (MPSI)

Soit $f$ et $g$ définies sur $I$, de limites respectives $\ell$ et $\ell'$ en $a$, et $\lambda \in \mathbb{R}$.

• Si $\ell, \ell'$ sont réels : $f + g \to \ell + \ell'$, $\lambda f \to \lambda \ell$, $fg \to \ell\ell'$.
• Si de plus $\ell' \neq 0$ : $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ et $\frac{f}{g} \to \frac{\ell}{\ell'}$.
• Les règles avec des limites infinies sont les mêmes que pour les suites : $+\infty + \ell' = +\infty$ si $\ell' \neq -\infty$, $\ell \times (+\infty) = +\infty$ si $\ell > 0$, $\frac{1}{g} \to 0$ si $g \to \pm\infty$, $\frac{1}{g} \to +\infty$ si $g \to 0$ avec $g > 0$ au voisinage de $a$.
• Formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.

Ces règles se démontrent directement à partir des résultats sur les suites grâce à la caractérisation séquentielle.