Composition des limites : énoncé (MPSI)
Composition des limites
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{R}$ avec $f(I) \subset J$. Si $f(x) \to b$ quand $x \to a$ et $g(y) \to \ell$ quand $y \to b$ (avec $a, b, \ell \in \overline{\mathbb{R}}$), alors $g(f(x)) \to \ell$ quand $x \to a$.
Démonstration : Composition des limites
Preuve
Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ de limite $a$. Par caractérisation séquentielle appliquée à $f$, la suite $(f(u_n))$, à valeurs dans $J$, tend vers $b$. Par caractérisation séquentielle appliquée à $g$, la suite $(g(f(u_n)))$ tend vers $\ell$.
Ceci vaut pour toute suite $(u_n)$ de $I$ de limite $a$, donc $g \circ f$ tend vers $\ell$ en $a$, encore par caractérisation séquentielle.
Limite de $x\sin(1/x)$ en $+\infty$
Sur $[1, +\infty[$, posons $f(x) = \frac{1}{x}$, à valeurs dans $J = ]0, 1]$, et sur $J$, $g(u) = \frac{\sin u}{u}$. On a $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ et $g(u) \to 1$ quand $u \to 0$ (limite de référence). Par composition, $$x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = g(f(x)) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1.$$ Le fait de travailler sur $J = ]0,1]$, qui ne contient pas $0$, évite le problème de la valeur de $g$ en $0$.
Fonctions à valeurs complexes
Pour $f : I \to \mathbb{C}$ et $\ell \in \mathbb{C}$, on dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si $|f(x) - \ell| \to 0$, la définition étant la même avec le module. On montre que cela équivaut à : $\mathrm{Re}(f) \to \mathrm{Re}(\ell)$ et $\mathrm{Im}(f) \to \mathrm{Im}(\ell)$. Unicité, caractérisation séquentielle, opérations et caractère borné au voisinage restent vrais. Tout ce qui utilise l'ordre (section suivante) n'a pas de sens dans $\mathbb{C}$.