Caractérisation séquentielle de la limite : énoncé (MPSI)

(1) implique (2). Supposons $f(x) \to \ell$ quand $x \to a$ et soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ de limite $a$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\eta > 0$ tel que pour $x \in I$, $|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Comme $u_n \to a$, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $|u_n - a| \leq \eta$. Alors pour $n \geq N$, $|f(u_n) - \ell| \leq \varepsilon$. Donc $f(u_n) \to \ell$.

(2) implique (1), par contraposée. Supposons que $f$ ne tende pas vers $\ell$ en $a$. La négation de la définition s'écrit : $$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists x \in I,\quad |x-a| \leq \eta \ \text{ et } \ |f(x)-\ell| > \varepsilon.$$ Fixons un tel $\varepsilon$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, en appliquant ceci avec $\eta = \frac{1}{n+1}$, on choisit $u_n \in I$ tel que $|u_n - a| \leq \frac{1}{n+1}$ et $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon$.

La suite $(u_n)$ est à valeurs dans $I$ et tend vers $a$ par encadrement. Mais $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon$ pour tout $n$, donc $(f(u_n))$ ne tend pas vers $\ell$. L'assertion (2) est fausse.

Pour les autres cas ($a$ ou $\ell$ infini), on adapte : par exemple pour $a = +\infty$, on prend $B = n$ et on obtient $u_n \geq n$.