Déterminer les limites suivantes, en justifiant leur existence.
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\lfloor 2x \rfloor}{x}$.
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x + 2\sin x}{x + 1}$.
- $\lim\limits_{x \to 0^-} x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$.
Pour tout réel $t$, $t - 1 < \lfloor t \rfloor \leq t$.
Encadrer $\sin x$ entre $-1$ et $1$, puis diviser par une quantité strictement positive.
Dans la question 3, $x$ est négatif : la multiplication renverse les inégalités.
1. Pour $x > 0$, $2x - 1 < \lfloor 2x \rfloor \leq 2x$. En divisant par $x > 0$ : $$2 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor 2x \rfloor}{x} \leq 2.$$ Les deux bornes tendent vers $2$ en $+\infty$. Par encadrement, la limite existe et vaut $2$.
2. Pour $x > 0$, $-1 \leq \sin x \leq 1$ donne $x - 2 \leq x + 2\sin x \leq x + 2$. En divisant par $x + 1 > 0$ : $$\frac{x - 2}{x + 1} \leq \frac{x + 2\sin x}{x+1} \leq \frac{x + 2}{x + 1}.$$ Or $\frac{x-2}{x+1} = \frac{1 - 2/x}{1 + 1/x} \to 1$ et $\frac{x+2}{x+1} = \frac{1 + 2/x}{1 + 1/x} \to 1$. Par encadrement, la limite existe et vaut $1$.
3. Pour $x < 0$, $\frac{1}{x} - 1 < \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq \frac{1}{x}$. En multipliant par $x < 0$, les inégalités changent de sens : $$x \cdot \frac{1}{x} \leq x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor < x\left(\frac{1}{x} - 1\right), \quad \text{soit} \quad 1 \leq x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor < 1 - x.$$ Les bornes tendent vers $1$ quand $x \to 0^-$. Par encadrement, la limite existe et vaut $1$.
$2$ ; $1$ ; $1$