Théorème des bornes atteintes : énoncé (MPSI)
Théorème des bornes atteintes
Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ ($a \leq b$ réels) à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes : il existe $c, d \in [a,b]$ tels que $$f(c) = \min_{[a,b]} f \quad \text{et} \quad f(d) = \max_{[a,b]} f.$$
Démonstration : Théorème des bornes atteintes
Preuve
$f$ est majorée. Supposons le contraire. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n$ ne majore pas $f$ : il existe $x_n \in [a,b]$ tel que $f(x_n) > n$. La suite $(x_n)$ est bornée ; par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers un réel $c$, et $c \in [a,b]$ par passage à la limite dans $a \leq x_{\varphi(n)} \leq b$. Par continuité de $f$ en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$, limite finie. Or $f(x_{\varphi(n)}) > \varphi(n) \geq n$, donc $f(x_{\varphi(n)}) \to +\infty$. Contradiction.
Le maximum est atteint. Soit $M = \sup_{[a,b]} f$, réel d'après ce qui précède. Pour tout $n \geq 1$, $M - \frac{1}{n}$ ne majore pas $f$ : il existe $y_n \in [a,b]$ tel que $M - \frac{1}{n} < f(y_n) \leq M$. Par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite $(y_{\psi(n)})$ converge vers $d \in [a,b]$. Par encadrement, $f(y_{\psi(n)}) \to M$ ; par continuité, $f(y_{\psi(n)}) \to f(d)$. Par unicité de la limite, $f(d) = M$.
Le minimum. On applique ce qui précède à $-f$, continue sur $[a,b]$.