Prépa, 1re année › Limites et continuité › Image d'un segment
Image d'un segment : énoncé (MPSI)
Théorème
Image d'un segment
Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, alors $f([a,b])$ est un segment : $f([a,b]) = [m, M]$ avec $m = \min_{[a,b]} f$ et $M = \max_{[a,b]} f$.
Preuve : $f([a,b])$ est un intervalle (image d'un intervalle par une fonction continue), il contient $m$ et $M$ (bornes atteintes) et il est contenu dans $[m, M]$. C'est donc $[m, M]$.
Attention
Les hypothèses sont toutes nécessaires
- Intervalle non fermé : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, 1]$ et non majorée. $x \mapsto x$ est continue et bornée sur $[0, 1[$, mais n'atteint pas sa borne supérieure $1$.
- Intervalle non borné : $x \mapsto \arctan x$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$ mais n'atteint ni $-\frac{\pi}{2}$ ni $\frac{\pi}{2}$.
- Fonction non continue : $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ sur $[0, 1]$ vaut $x$ sur $[0,1[$ et $0$ en $1$ ; sa borne supérieure $1$ n'est pas atteinte.
Avant d'écrire « $f$ admet un maximum », vérifier : continuité, segment fermé et borné.