Théorème des bornes atteintesThéorème de HeineSe ramener à un segment par périodicité
Soit $T > 0$ et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et $T$-périodique.
- Montrer que $f(\mathbb{R}) = f([0, T])$.
- En déduire que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et atteint ses bornes.
- Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.
Indice 1
Pour $x$ réel, le réel $x - T\left\lfloor \frac{x}{T} \right\rfloor$ est dans $[0, T[$.
Indice 2
Appliquer le théorème des bornes atteintes sur le segment $[0, T]$.
Indice 3
Appliquer le théorème de Heine sur un segment un peu plus grand que $[0, T]$, par exemple $[-T, 2T]$, et translater $x$ et $y$ du même multiple de $T$.
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