Minorer une fonction continue strictement positive par une constante : méthode (MPSI)
Minorer une fonction continue strictement positive par une constante
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(x) > 0$ pour tout $x$, alors il existe $m > 0$ tel que $f \geq m$ sur $[a,b]$.
Justification : par le théorème des bornes atteintes, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \min_{[a,b]} f$. On pose $m = f(c)$ : $m > 0$ car $f(c) > 0$, et $f \geq m$.
Sur $]0, 1]$, la fonction $x \mapsto x$ est strictement positive mais n'est minorée par aucune constante strictement positive : le segment est indispensable.
Minimum global sur $\mathbb{R}$
Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Montrons que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
Par définition des limites, il existe $A > 0$ tel que $f(x) \geq f(0)$ pour tout $x$ avec $|x| \geq A$. Sur le segment $[-A, A]$, $f$ est continue : elle y admet un minimum $m = f(c)$ avec $c \in [-A, A]$. Comme $0 \in [-A, A]$, $m \leq f(0)$.
Pour $x \in [-A, A]$, $f(x) \geq m$. Pour $|x| \geq A$, $f(x) \geq f(0) \geq m$. Donc $f(x) \geq f(c)$ pour tout réel $x$ : $f$ admet un minimum global en $c$.
Cas complexe
Si $f : [a,b] \to \mathbb{C}$ est continue, alors $|f|$ est continue à valeurs réelles : elle est bornée et atteint ses bornes. En particulier $f$ est bornée. Parler du « maximum de $f$ » n'a en revanche pas de sens dans $\mathbb{C}$.
S’entraîner
- Une limite démontrée avec la définition
- Absence de limite et prolongement : $\sin(\ln x)$
- Continuité avec partie entière, prolongement
- Équation fonctionnelle $f(2x) = f(x)$
- Point fixe d'une fonction contractante
Dans le cours
Limites et continuité : Minorer une fonction continue strictement positive par une constante